부동소수점

컴퓨터에서 실수를 표현하는 방법은 복잡하다. 실수와 정수 마찬가지로 2진수로만 표현을 해야하기 때문인데,

따라서 실수의 표현 방식은 두가지가 있다.

 

1. 고정 소수점(fixed point) 방식

2. 부동 소수점(floating point) 방식

---

고정 소수점(fixed point) 방식

실수를 정수부와 소수부로 나눌 수 있다.

그래서 실수를 표현할 때 소수부의 자릿수를 미리 정하고, 고정된 자릿수의 소수를 표현하는 것이다.

32비트 실수를 고정 소수점 방식으로 표현

하지만 정수부와 소수부의 자릿수가 정해져있어서 표현할 수 있는 범위가 매우 적다는 단점이 있다.

저장할 크기보다 저장할 값이 작다면 남은 공간이 낭비되는 문제가 있다.

그래도 연산은 빠르지만 일반적인 상황에서는 비효율적이다.

---

부동 소수점(floating point) 방식

실수를 가수부와 지수부로 나누어서 표현한다.

고정 소수점 방식은 표현 범위가 매우 작았지만, 부동 소수점 방식은 매우 큰 실수까지 표현이 가능하다.

±(1.가수부)×2^지수부-127

대부분은 부동 소수점 방식으로 실수를 표현한다.

 

- 정규화 : 정수부에 유의미한 한 자리 수를 정수부에 남기고 전부 소수부로 넘김 * 10^n

컴퓨터는 2진수로만 표현이 가능하므로 2진정규화를 해야한다.

예를들어 4.625의 값을 2진수로 바꿔보자.
정수부 4는 0100으로 바꿔줄 수 있다.
소수부 0.625를 2진수로 바꿔주려면 다음을 먼저 알아야한다.
0.1자리는 0.5 / 0.01자리는 0.25 / 0.001자리는 0.125
즉, 0.625는 0.5 + 0.125로 표현할 수 있고 이를 2진수로 나타내면 0.101이 된다.

따라서 4.625의 2진수는 0100.1010이 된다.
이제 2진수를 정규화 시킬텐데, 먼저 정수부에 유의미한 한자리 수만 남기고 전부 소수부로 넘긴다.
1.00101 * 2^2 로 나타낼 수 있다.

 

이제 정규화시킨 2진수를 부호부(1)/지수부(8)/가수부(23)으로 나타내준다.
- 부호부(1) : +는 0, -는 1로 나타냄. 1자리수
- 지수부(8) : 2^지수부에서 지수부를 2진수로 변환한 값 + 127(2진수). 8자리 수
- 가수부(23) : 정규화시킨 소수부 그대로 가져다 넣음. 값이 너무 길어지면 짤리게되는데 이로 인해 오차가 발생.

따라서 다음과 같이 나타낼 수 있다.
부호부(1) / 지수부(8)  /              가수부(23)
     0         / 10000001 / 00101000000000000000000

즉, 01000000100101000000000000000000(=4.625)의 값으로 나타낼 수 있는 것이다.

---

C++ 부동 소수점 표현 방식

C++에서 부동 소수점을 두 가지 방식으로 표현한다.

 

1. 3.14, -45.6과 같이 소수 부분을 가지는 아라비아 숫자로 표현

2. e 또는 E를 사용하여 지수 표기법으로 표현

 

 

C++에서 지수를 표현할 때 사용되는 E 지수 표기법

---

부동 소수점 방식의 오차

부동 소수점을 통해 실수의 더 많은 범위까지 표현할 수 있다.

하지만 이러한 방식에 의한 실수 표현은 항상 오차가 존재한다는 단점이 있다.

 

부동 소수점 방식에서의 오차는 부동 소수점 공식에 의해 발생한다.

부동 소수점 공식을 사용하면 표현할 수 있는 범위가 늘어나지만, 10진수를 정확하게 표현할 수 없는 문제가 있다.

때문에 컴퓨터에서 실수를 표현하는 방법은 정확한 표현이 아니라 근사치만 표현하는 것임을 기억하자.

 

그래서 실수를 가지고 수행하는 모든 연산에는 언제나 작은 오차가 존재하게 되는 것이다.