옛날에 배웠던 피타고라스의 정리(a² + b² = c²)과 비스무리한 느낌이다.
피타고라스의 정리는 직각삼각형 세 변의 길이 사이의 관계를 나타내고 있지만, 삼각비는 단순히 변의 길이가 아니라
변의 길이 사이의 비율을 나타낼 수 있다.
삼각비
삼각비는 직각삼각형에서 하나의 기준각을 잡고, 두 변의 길이를 이용하여 그 각에 대한 삼각비를 구하는 방법이다.
여기서 중요한 조건 중 하나는 반드시 직각삼각형이여야 하고, 하나의 기준각을 잡아야한다는 것이다.
만약 기준각만 같다면, 다른 변의 길이나 삼각형의 크기가 서로 다른 직각삼각형이라도 삼각비는 같다.
먼저 위 이미지를 보자. 직각삼각형의 직각의 대변(바로 맞은편에 있는 변)을 빗변(b)이라고 부른다.
우리가 기준으로 잡을 기준각(예를 들어 A)의 대변을 높이(a)라고 부르고, 나머지 하나의 변은 밑변(c)이라고 정한다.
빗변(b)은 기준각을 A 또는 C로 잡아도 항상 b을 나타내고 있지만, 높이와 밑변은 기준각A일때는 높이(a), 밑변(c)지만
기준각C일때는 높이(c), 밑변(a)가 된다. 즉, 빗변은 항상 같지만 기준각에 따라 밑변과 높이가 달라지므로 주의하자.
기준각을 중심으로 여러가지 삼각비를 나타낼 수 있는데, 그 중에서 제일 잘 알려진 사인(sin), 코사인(cos), 탄젠트(tan)
이 세 가지를 알아두면 된다.
사인(sin)
sine의 줄임말로, 기준각을 중심으로 직각삼각형의 높이를 빗변으로 나눈 것을 말한다.
예를들어 기준각을 A로 잡았을 때, sin(A) = 높이(a) / 빗변(b)으로 정의할 수 있다.
코사인(cos)
cosine의 줄임말로, 기준각을 중심으로 직각삼각형의 밑변을 빗변으로 나눈 것을 말한다.
예를들어 기준각을 A로 잡았을 때, sin(A) = 밑변(c) / 빗변(b)으로 정의할 수 있다.
탄젠트(tan)
tangent의 줄임말로, 기준각을 중심으로 직각삼각형의 높이을 밑변으로 나눈 것을 말한다.
예를들어 기준각을 A로 잡았을 때, sin(A) = 높이(a) / 밑변(c)으로 정의할 수 있다.
삼각비가 아직 어렵다면, 위 이미지처럼 sin, cos, tan 구하는 방법을 그냥 외우면 편하다.
화살표가 가리키는 방향으로 분수가 만들어진다고 생각하면 되는데 화살표의 시작되는 부분의 변이 분모에,
화살표가 끝나는 부분의 변을 분자에 대입하면 금방 삼각비를 구할 수 있다.
sin = 높이 / 빗변
cos = 밑변 / 빗변
tan = 높이 / 밑변
삼각함수
삼각함수는 삼각비와 호도법, 그리고 함수가 합쳐진 것이라고 생각하면 된다.
삼각비에서는 직각삼각형에서 세 변의 길이의 비를 이용했다면, 삼각함수는 좌표평면 위의 좌표를 이용하는 차이가 있다.
또한 삼각비에서는 육십분법을 이용하여 나타냈다면, 삼각함수에서는 호도법을 이용하여 나타낸 각을 이용한다.
위 이미지처럼 xy좌표평면에 반지름의 길이가 r인 원을 그리고, 원 위에 임의의 점 P를 찍는다.
그리고 원점 O와 점 P를 잇고 만들어진 θ각을 기준각으로 크기에 따라 y / r , x / r , y / x 로 정해진다.
θ → y / r , θ → x / r , θ → y / x는 각각 θ에 대한 함수이다.
이것들을 차례로 사인함수, 코사인함수 ,탄젠트함수라고 하며 sinθ → y / r , cosθ → x / r , tanθ → y / x로
나타낼 수 있다. 바로 이 3가지가 삼각함수이다.
삼각비에서 배웠던 sin, cos, tan처럼 원의 반지름(r)인 선분OP을 빗변, 점y를 높이, 점x를 밑변이라고 생각하면 된다.
대신 삼각함수에서는 좌표를 이용하므로 음수도 사용할 수 있다는 차이가 있다.
삼각함수 값의 부호는 각 θ가 몇 사분면 위에 각인지에 따라서 부호가 달라진다. 여기서 r은 원의 반지름으로 무조건
양수를 나타내고 있다. 따라서 삼각함수의 부호에 영향을 주는 요소는 좌표평면에서 점 x, 점 y의 부호이다.
| 구분 | 제1사분면 | 제2사분면 | 제3사분면 | 제4사분면 |
| x, y의 부호 | x > 0, y > 0 | x < 0, y > 0 | x < 0, y < 0 | x > 0, y < 0 |
| sinθ = y / r | 양수(+) | 양수(+) | 음수(-) | 음수(-) |
| cosθ = x / r | 양수(+) | 음수(-) | 음수(-) | 양수(+) |
| tanθ = y / x | 양수(+) | 음수(-) | 양수(+) | 음수(-) |
각 함수별로 양수가 되는 사분면이 2개, 음수가 되는 사분면이 2개씩 있다.
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