행렬(Matrix)
선형대수학에서 볼 수 있는 행렬은 1개 이상의 수나 식들을 행(Row)과 열(Column)에 맞춰서 직사각형의 배열로 나열한 것을 말한다. 가로줄을 행, 세로줄을 열이라고 부른다.
행렬 안의 원소의 위치에 따라서 i행 j열과 같은 위치를 나타낼 수 있다.
지금까지 C++ 프로그래밍을 배워오면서 행렬에 대해서 조금 다르게 사용했었지만, 수학에서는 지금 보는 방식이 맞다.
단위행렬(Unit Matrix)
또는 항등행렬(Identity Matrix)이라고도 부른다. 특징으로는 주대각선의 원소가 모두 1이며 나머지 원소들이 모두 0인
정사각형의 행렬을 말한다.
여기서 주대각선은 행(i) 번호와 열(j) 번호가 똑같은 성분을 말하는 것이다.
단위행렬은 크로네커 델타로 나타낼 수도 있다고 한다.
영행렬(Zero Matrix)
행렬의 모든 원소가 0으로 이루어져 있는 행렬을 말한다. 영행렬은 기호로 O이라고 나타낸다고 한다.
곱셈의 영행렬은 존재하지 않고, 어떠한 행렬에 영행렬을 곱하면 반드시 영행렬이 된다.
2차 정사각행렬의 영행렬은 다음과 같다.
역행렬(Inverse Matrix)
역행렬은 행렬 곱의 역원으로 , 어떤 행렬에 그것의 역행렬을 곱하면 항등행렬이란 결과가 나온다.
행렬 A ∈ Mⁿ(F)에 대하여 AB = BA = Iⁿ을 만족하는 행렬 B ∈ Mⁿ(F)가 존재할 때, A는 가역(invertible)이라 하고,
B를 A의 역행렬이라고 부른다.
그러나 역행렬이 반드시 존재한느 것은 아니고, 존재할 수도 존재하지 않을 수도 있다.
역행렬이 존재하는 행렬을 가역(invertible)이라고 하는데, 행렬의 가역성은 매우 매우 중요하다고 한다.
전치행렬(Transposed Matrix)
전치행렬은 행렬의 오른쪽 위에 'T'를 달아 표기하며, 행과 열을 뒤집은 행렬을 말한다.
한마디로 i행과 j열을 교환한다는 뜻이다. 대각성분은 i와 j의 값이 같으므로 어차피 변하지 않고 고정되어있고,
이 대각성분을 기준으로 양쪽이 서로 뒤바뀌는 성질을 가지고 있다.
어떤 행렬에 전치를 적용하면 m x n 행렬이 n x m 행렬로 변한다고 한다.
행렬의 곱연산
행렬의 곱셈은 특정 조건에 만족해야지 곱셈을 할 수 있는데, 두 행렬의 크기가 맞는 경우에만 할 수 있다.
여기서 크기가 맞다는 말은 행렬 A의 열 개수와 행렬 B의 행 개수가 같을 때를 말한다.
행렬 A의 i행의 각 성분과 행렬 B의 j열의 각 성분을 순서대로 곱하여 더한 것을 (i, j) 성분으로 하는 행렬을 두 행렬 A와 B의
곱이라고 하며 그냥 AB 기호로 나타낸다.
위의 행렬 A와 행렬 B를 곱해보자. 행렬 A는 2행 3열, 행렬 B는 3행 2열이므로 곱할 수 있는 조건이 충족된다.
두 행렬을 곱할 때 순서는 위와 같은 방법으로 하나씩 원소를 만들면 된다.
행렬 AB의 (1, 1) 성분은 행렬 A의 제1행 성분과 행렬 B의 제1열 성분들을 곱해서 더한 값이다.
a₁₁b₁₁ + a₁₂b₂₁ + a₁₃b₃₁
행렬 AB의 (1, 2) 성분은 행렬 A의 제1행 성분과 행렬 B의 제2열 성분들을 곱해서 더한 값이다.
a₁₁b₁₂ + a₁₂b₂₂ + a₁₃b₃₂
행렬 AB의 (2, 1) 성분은 행렬 A의 제2행 성분과 행렬 B의 제1열 성분들을 곱해서 더한 값이다.
a₂₁b₁₁ + a₂₂b₂₁ + a₂₃b₃₁
행렬 AB의 (2, 2) 성분은 행렬 A의 제2행 성분과 행렬 B의 제1열 성분들을 곱해서 더한 값이다.
a₂₁b₁₂ + a₂₂b₂₂ + a₂₃b₃₂
따라서 다음과 같은 행렬 AB가 만들어진다.
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